Si è compiuto un notevole sforzo per presentare gli argomenti ed i metodi trattati nel libro nel modo più semplice possibile: il lettore non troverà qui enunciati generali o dimostrazioni basate su teorie astratte di carattere generale. Al contrario, l'obiettivo principale del testo è introdurre alcuni concetti fondamentali a partire dalle basi, attraverso esempi semplici e significativi (tra cui, ad esempio, il classico problema isoperimetrico e quello della brachistocrona, nonché il problema al contorno per le funzioni armoniche).

In particolare, il libro è pensato principalmente (ma non esclusivamente) per introdurre gradualmente il lettore al cosiddetto Metodo Diretto del Calcolo delle Variazioni, che rappresenta uno dei concetti centrali della disciplina. Di conseguenza, una parte consistente del volume è dedicata alla discussione degli spazi di funzioni debolmente differenziabili (ossia le funzioni di Sobolev e le funzioni lipschitziane), che costituiscono uno strumento essenziale del Metodo Diretto.

Un'ampia raccolta di esercizi guiderà lo studente nello studio della materia. Quasi tutti gli esercizi sono corredati di una soluzione dettagliata.

Pur essendo stato concepito principalmente per gli studenti, il libro può risultare utile anche ai ricercatori del settore, almeno per alcune parti riguardanti ad esempio: le proprietà degli spazi di Sobolev; le disuguaglianze funzionali di tipo Sobolev–Poincaré; alcune tecniche per trattare equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche non lineari ed un'introduzione ai metodi della moderna teoria della regolarità per le EDP ellittiche.

Il volume è completato da quattro appendici, che contribuiscono a renderlo autosufficiente, nonché ad approfondire lo studio di alcuni argomenti specifici.

Lorenzo Brasco è nato a Firenze nel 1981. Ha conseguito il dottorato di ricerca in Matematica nel 2010 presso l’Università di Pisa e l’Université Paris-Dauphine, nell’ambito di una co-tutela. Dal 2010 al 2011 ha ricoperto una posizione postdoc presso l’Università di Napoli, finanziata da un progetto ERC. Dal 2011 al 2015 è stato Maître de Conférences presso Aix-Marseille Université. Dal 2015 al 2023 è stato Professore Associato di Analisi Matematica presso l’Università di Ferrara. Attualmente è Professore Ordinario di Analisi Matematica presso la stessa università. È autore di oltre 60 articoli scientifici pubblicati su riviste internazionali con revisione tra pari. È stato relatore invitato in diversi workshop internazionali e istituti di ricerca, tra cui la Banff International Research Station, il Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach e il Mittag-Leffler Institute. I suoi ambiti di ricerca riguardano il calcolo delle variazioni e le equazioni differenziali alle derivate parziali.